Бицентрическая система координат

Бицентрические координаты — система координат на плоскости, в которой положение точки задаётся расстояниями от двух фиксированных центров (полюсов).

Бицентрические координаты не следует путать с биполярными и с биангулярными координатами, хотя в некоторых источниках термин «биполярные координаты» используется для барицентрических или биангулярных координат.

Канонические формулы для перевода координат (здесь подразумевается, что полюса имеют координаты [math]\displaystyle{ (\pm c;0) }[/math]):

[math]\displaystyle{ \begin{cases} x=\frac{r_1^2-r_2^2}{4c} \\ y=\pm\frac{1}{4c}\sqrt{16c^2r_1^2-(r_1^2-r_2^2+4c^2)^2} \end{cases} }[/math]

Следующие формулы переводят бицентрические координаты в полярные координаты:

[math]\displaystyle{ \begin{cases} r=\sqrt{\frac{r_1^2+r_2^2-2c^2}{2}} \\ \theta=\mathrm{arctg}\left[\sqrt{\frac{8c^2(r_1^2+r_2^2-2c^2)}{r_1^2-r_2^2}-1}\right] \end{cases} }[/math]

где [math]\displaystyle{ 2c }[/math] — расстояние между полюсами.

В общем случае, если полюса имеют произвольные координаты, формулы перевода преобразуются в:

[math]\displaystyle{ \left \{ \begin{matrix} x=\pm\frac{r^2+r_1^2-r_2^2}{2r}\cos\alpha\pm\frac{\sqrt{(r_1+r_2+r)(r_1-r_2-r)(r_2-r_1-r)(r_1+r_2-r)}}{2r}\sin\alpha+x_1 \\ y=\pm\frac{r^2+r_1^2-r_2^2}{2r}\sin\alpha\mp\frac{\sqrt{(r_1+r_2+r)(r_1-r_2-r)(r_2-r_1-r)(r_1+r_2-r)}}{2r}\cos\alpha+y_1 \end{matrix} \right. }[/math].

Где [math]\displaystyle{ r }[/math] — расстояние между полюсами,

[math]\displaystyle{ r_1 }[/math] — расстояние до первого полюса,

[math]\displaystyle{ r_2 }[/math] — расстояние до второго полюса,

[math]\displaystyle{ (x_1; y_1) }[/math] — координаты первого полюса,

[math]\displaystyle{ (x_2; y_2) }[/math] — координаты второго полюса,

[math]\displaystyle{ \alpha=\operatorname{arctg}\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} }[/math] — угол наклона прямой, проходящей через координаты [math]\displaystyle{ (x_1, y_1); (x_2, y_2) }[/math], относительно оси абсцисс.

Получаемые по данным формулам четыре пары координат следует проверять на выполнение условия:

[math]\displaystyle{ \sqrt{(x-x_1)^2+(y-y_1)^2}=r_1 }[/math]

и

[math]\displaystyle{ \sqrt{(x-x_2)^2+(y-y_2)^2}=r_2 }[/math]

Только две пары координат из четырёх будут удовлетворять этим условиям.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Bipolar Coordinates (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.